设V=〈S，*〉，其中S={a，b，c}，*的运算表如下所示：

分别对以上每种情况讨论*运算的可交换性、幂等性，是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元。

设S={1，2，...，10}，问下面定义的二元运算*是否为S上的二元运算？
（1）x*y=gcd（x，y），x与y的最大公约数
（2）x*y=lcm（x，y），x与y的最小公倍数
（3）x*y=大于等于xy的最小整数
（4）x*y=max{x，y}
（5）x*y=质数p的个数，其中x≤p≤y。

（1）设〈L，∧，∨，′，0，1〉是布尔代数，则L中的运算∧和∨，运算∨的幺元是，零元是，最小的子布尔代数是由集合构成。
（2）在布尔代数L中表达式（a∧b）∨（a∧b∧c）∨（b∧c）的等值式是。

（1）设G={0，1，2，3}，若⊙为模4乘法，则〈G，⊙〉构成。
（2）若⊕为模4加法，则〈G，⊕〉是阶群，且是，G中的2阶元是，4阶元是。

对以下定义的集合和运算差别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？
（1）S₁={0，±1，±2，...，±n}，+为普通加法，则S₁是。
（2）S₂={1/2，0，2}，*为普通乘法，则S₂是。
（3）S₃={0，1，...，n-1}，n为任意给定的正整数且n≥2，*为模n乘法，˙为模n加法，则S₃是。
（4）S₄={0，1，2，3}，≤为小于等于关系，则S₄是。
（5）S₅是Mn（R），+为矩阵加法，则S₅是。

设V=〈Z，+〉，其中+为普通加法，x∈Z，令φ₁（x）=x，φ₂（x）=0，φ₃（x）=x+5，φ₄（x）=2x，φ₅（x）=x²，φ₆（x）=-x，则φ₁，...，φ₆中有个是V的自同态，其中个不是V的自同构，个只是单自同态不是满自同态，个是满自同态不是单自同态，零同态的同态像是。