设S={1，2，...，10}，问下面定义的二元运算*是否为S上的二元运算？
（1）x*y=gcd（x，y），x与y的最大公约数
（2）x*y=lcm（x，y），x与y的最小公倍数
（3）x*y=大于等于xy的最小整数
（4）x*y=max{x，y}
（5）x*y=质数p的个数，其中x≤p≤y。

（1）设〈L，∧，∨，′，0，1〉是布尔代数，则L中的运算∧和∨，运算∨的幺元是，零元是，最小的子布尔代数是由集合构成。
（2）在布尔代数L中表达式（a∧b）∨（a∧b∧c）∨（b∧c）的等值式是。

（1）设G={0，1，2，3}，若⊙为模4乘法，则〈G，⊙〉构成。
（2）若⊕为模4加法，则〈G，⊕〉是阶群，且是，G中的2阶元是，4阶元是。

对以下定义的集合和运算差别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？
（1）S₁={0，±1，±2，...，±n}，+为普通加法，则S₁是。
（2）S₂={1/2，0，2}，*为普通乘法，则S₂是。
（3）S₃={0，1，...，n-1}，n为任意给定的正整数且n≥2，*为模n乘法，˙为模n加法，则S₃是。
（4）S₄={0，1，2，3}，≤为小于等于关系，则S₄是。
（5）S₅是Mn（R），+为矩阵加法，则S₅是。

设V=〈Z，+〉，其中+为普通加法，x∈Z，令φ₁（x）=x，φ₂（x）=0，φ₃（x）=x+5，φ₄（x）=2x，φ₅（x）=x²，φ₆（x）=-x，则φ₁，...，φ₆中有个是V的自同态，其中个不是V的自同构，个只是单自同态不是满自同态，个是满自同态不是单自同态，零同态的同态像是。

设V=〈R⁺，*〉，其中，*为普通乘法，对任意x∈R⁺，令φ₁（x）=∣x∣，φ₂（x）=2x，φ₃（x）=x²，φ₄（x）=1/x，φ₅（x）=-x，则其中有个是V的自同态，它们是，有个是单自同态而不是满自同态，个是满自同态而不是单自同态，个是自同构。

（1）设V=〈Z，+，*〉，其中+和*分别表示普通加法和乘法，则V有个不同的子代数，且这些子代数。
（2）令T₁={2n∣n∈Z}，则T₁是V的。
（3）令T₂={2n+1∣n∈Z}，则T₂不是V的子代数，其原因是T₂。
（4）令T₃={-1，0，1}，则T₃不是V的子代数，其原因是T₃。

R为实数集，定义以下6个函数有
f₁（〈x，y〉）=x+y
f₂（〈x，y〉）=x-y
f₃（〈x，y〉）=xy
f₄（〈x，y〉）=max{x，y}
f₅（〈x，y〉）=min{x，y}
f₆（〈x，y〉）=∣x-y∣
那么，其中有个是R上的二元运算，有个是可交换的，个是可结合的，个是有幺元的，个是有零元的。

设S=Q×Q，其中Q为有理数集合，定义S上的二元运算*，有〈a，b〉*〈x，y〉=〈ax，ay+b〉，则：
（1）〈3，4〉*〈1，2〉=，〈-1，3〉*〈5，2〉=
（2）〈S，*〉是
（3）〈S，*〉的幺元是
（4）〈S，*〉。

设S={a，b}，则S上可以定义个二元运算，其中有4个运算f₁，f₂，f₃，f₄，其运算如下表所示。

则只有满足交换律，满足幂等律，有幺元，有零元。