设R，Z，N分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f₁，f₂，f₃，f₄，试确定它们的性质。
f₁：R→R，f（x）=2^x
f₂：Z→N，f（x）=∣x∣
f₃：N→N，f（x）=（x）mod 3，x除以3的余数
f₄：N→N×N，f（n）=〈n，n+1〉
则f₁是，f₂是，f₃是，f₄是，f₄（{5}）=。

设f：N→N，N为自然数集，且

则f（0）=，f（{0}）=，f（{1，2}）=，f（1，2）=，f（{0，2，4，6，...}）=。

设S={1，2，...，10}，≤是S上的整除关系，则〈S，≤〉的哈斯图是，其中最大元是，最小元是，最小上界是，最大下界是。

设Z⁺={x∣x∈Z∧x〉0}，π₁，π₂，π₃是Z⁺的3个划分，π₁={{x}∣x∈Z⁺}，π₂={S₁，S₂}，S₁为素数集，S₂=Z⁺-S₁，π₃={Z⁺}，则：
（1）3个划分中划分块最多的是，最少的是
（2）划分π₁对应的是Z⁺上的，π₂对应的是Z⁺上的，π₃对应的是Z⁺上的。

设S={1，2，3}，下图给出了S上的5个关系，则它们只具有以下性质：R₁是，R₂是，R₃是，R₄是，R₅是。

供选择的答案：
A，B，C，D，E：
①自反的，对称的，传递的
②反自反的，反对称的
③反自反的，反对称的，传递的
④自反的
⑤反对称的，传递的
⑥什么性质也没有
⑦对称的
⑧反对称的
⑨反自反的，对称的
⑩自反的，对称的，反对称的，传递的。

设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z⁺上的关系，即，
则：
（1）R中有个有序对
（2）domR=
（3）R∣（2，3，4，6）=
（4）{3}在R下的像是
（5）R˙R的集合表达示是。

设S={1,2,3,4},R为S上的关系，其关系矩阵是

则
（1）R 的关系表达式是。
（2）domR=，ranR=。
（3）R˙R中有个有序对。
（4）R^-1的关系图中有个环。

（1）设S={1，2}，R是S上的二元关系，且xRy。如果R=Is，则，如果R是数的小于等于关系，则，如果R=Es，则。
（2）设有序对与有序对<5，2x+y>相等，则x=，y=。

错位排列的计数问题，设i₁，i₂...i_n是1，2，...，n这n个数的排列，如果排在第i位的数都不等于i，其中i=1，2，...，n，则称这个排列为错位排列。比如1，2，3，4的错位排列有2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，一共9个错位排列，记作D₄=9，将n个数的错位排列个数记作Dn，证明。