（1）设V=〈Z，+，*〉，其中+和*分别表示普通加法和乘法，则V有个不同的子代数，且这些子代数。
（2）令T₁={2n∣n∈Z}，则T₁是V的。
（3）令T₂={2n+1∣n∈Z}，则T₂不是V的子代数，其原因是T₂。
（4）令T₃={-1，0，1}，则T₃不是V的子代数，其原因是T₃。

R为实数集，定义以下6个函数有
f₁（〈x，y〉）=x+y
f₂（〈x，y〉）=x-y
f₃（〈x，y〉）=xy
f₄（〈x，y〉）=max{x，y}
f₅（〈x，y〉）=min{x，y}
f₆（〈x，y〉）=∣x-y∣
那么，其中有个是R上的二元运算，有个是可交换的，个是可结合的，个是有幺元的，个是有零元的。

设S=Q×Q，其中Q为有理数集合，定义S上的二元运算*，有〈a，b〉*〈x，y〉=〈ax，ay+b〉，则：
（1）〈3，4〉*〈1，2〉=，〈-1，3〉*〈5，2〉=
（2）〈S，*〉是
（3）〈S，*〉的幺元是
（4）〈S，*〉。

设S={a，b}，则S上可以定义个二元运算，其中有4个运算f₁，f₂，f₃，f₄，其运算如下表所示。

则只有满足交换律，满足幂等律，有幺元，有零元。

对下述函数f、g及集合A、B，计算f˙g、f˙g（A）和f˙g（B），并说明f˙g是否为单射或满射。

f：Z→R，f（x）=e^x
g：N→R，g（x）=x²
A=N，B={2k∣k∈N}

对下述函数f、g及集合A、B，计算f˙g、f˙g（A）和f˙g（B），并说明f˙g是否为单射或满射。

f：R→R，f（x）=x⁴-x²
g：N→R，g（x）=√x
A={2，4，6，8，10}，B={0，1}

设f：A→A，由f导出的A上的等价关系定义如下：

已知f₁，f₂，f₃∈N^N，且

令R_i为f_i导出的等价关系，求商集N/R_i，其中i=1，2，3。

设A={a，b}，B={0，1}。